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［渭南二模］2023届渭南市高三年级第二次模拟考试数学试卷答案

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19．在三棱柱ABC-A′B′C′中，M，N分别为BC，B′C′的中点，化简下列式子：
（1）$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{BN}$；
（2）$\overrightarrow{A′N}$-$\overrightarrow{MC′}$+$\overrightarrow{BB′}$．

分析先求出$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$=（4，3），再求出cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$，由此能求出$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的正弦值．

解答解：∵$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（1，2），$\overrightarrow{CA}$=（3，1），
∴$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$=（1，2）+（3，1）=（4，3），
∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{8}{2×5}$=$\frac{4}{5}$，
∴0＜＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞＜$\frac{π}{2}$，
∴sin＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角的正弦值为$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评本题考查两向量夹角正弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量坐标运算法则的合理运用．