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齐鲁名校大联考2023届山东省高三第三次学业质量联合检测数学试卷答案

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1．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为l．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

分析（1）由题意和三角函数公式化简，由周期公式和整体法可得；
（2）由题意易得P和Q的坐标，进而可得$|{OP}|=\sqrt{5}，|{OQ}|=\sqrt{29}$，由向量的夹角公式和三角函数基本关系可得sin∠POQ，由三角形的面积公式可得．

解答解：（1）由题意和三角函数公式化简可得：
$f（x）=2\sqrt{2}sin\frac{π}{8}xcos\frac{π}{8}x+\sqrt{2}（2{cos^2}\frac{π}{8}x-1）$
=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}x+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}x=2sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）$，
∴函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{{\frac{π}{4}}}=8$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[8k-3，8k+1]（k∈Z）；
（2）∵$f（1）=2sin（{\frac{π}{4}+\frac{π}{4}}）=2，f（5）=2sin（{\frac{5π}{4}+\frac{π}{4}}）=-2$，
∴P（1，2），Q（5，-2），∴$|{OP}|=\sqrt{5}，|{OQ}|=\sqrt{29}$，
∴$cos∠POQ=\frac{{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}}{{|{\overrightarrow{OP}}|•|{\overrightarrow{OQ}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}•\sqrt{29}}}$，
∴$sin∠POQ=\sqrt{1-{{cos}^2}∠POQ}=\frac{12}{{\sqrt{5}•\sqrt{29}}}$，
∴${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}|{OP}|•|{OQ}|sin∠POQ=6$．

点评本题考查三角函数的单调性和周期性，涉及三角形的面积的求解和向量的知识，属中档题．