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1号卷2023年全国高考最新原创冲刺试卷(一)(二)数学试卷答案

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6．已知某曲线y=f（x）过点（0，0），且在点（x，y）处的切线斜率k=3x²+1，求该曲线方程．

分析（1）当直线AB的斜率不为0时，设直线方程为my+n=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用直线与圆相切的充要条件可得5n²=4（m²+1），与椭圆方程联立化为：（4m²+1）y²+8mny+4n²-4=0，把根与系数的关系代入$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，证明其值为0即可．当直线AB的斜率为0时，容易验证．
（2）设直线PQ的方程为：y=t（-2＜t＜2），S（x₂，y₂）．代入${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得P，Q．利用点斜式可得直线PN的方程，代入椭圆方程化为关于x的一元二次方程，解得x₁，x₂，y₂，得出QS的直线方程即可得出．

解答（1）证明：当直线AB的斜率不为0时，设直线方程为my+n=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直线与⊙M相切，∴$\frac{|n|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，化为5n²=4（m²+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{my+n=x}\end{array}\right.$，化为：（4m²+1）y²+8mny+4n²-4=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{8mn}{4{m}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{4{n}^{2}-4}{4{m}^{2}+1}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²
=$\frac{（{m}^{2}+1）（4{n}^{2}-4）}{4{m}^{2}+1}$-$\frac{8{m}^{2}{n}^{2}}{4{m}^{2}+1}$+n²=$\frac{5{n}^{2}-4（{m}^{2}+1）}{4{m}^{2}+1}$=0．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
当斜率为0时，上式也成立．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
（2）解：设直线PQ的方程为：y=t（-2＜t＜2），S（x₂，y₂）．
代入${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得x=±$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$，取P$（-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}，t）$，Q$（\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}，t）$．
直线PN的方程为：$y=\frac{2-2t}{\sqrt{4-{t}^{2}}}$x+1，代入椭圆方程化为：$\frac{20-8t}{4-{t}^{2}}{x}^{2}$+$\frac{4-4t}{\sqrt{4-{t}^{2}}}x$-3=0，
解得x₁=$\frac{-\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$，${x}_{2}=\frac{3\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（5-2t）}$．∴y₂=$\frac{8-5t}{5-2t}$．
直线QS的方程为：y-t=$\frac{\frac{8-5t}{5-2t}-t}{\frac{3\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（5-2t）}-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}}$$（x-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，
化为：y-t=$\frac{2（t-4）}{\sqrt{4-{t}^{2}}}$ $（x-\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}）$，化为y-4=$\frac{2（t-4）}{\sqrt{4-{t}^{2}}}$x．令x=0，则y=4．
∴直线QS经过一个定点（0，4）．

点评本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．