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全国中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学试卷答案

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10．已知直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）
（1）把曲线C的方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为2$\sqrt{2}$，求实数m的取值范围．

分析不等式整理得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+（lnx）²≥a-2，只需求出左式的最小值即可．利用构造函数，显然可知函数的最小值为2．

解答解：x⁴+（2-a）x²+x²（lnx）²+1≥0恒成立，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+（lnx）²≥a-2，
令g（x）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+（lnx）²，
∴g（x）≥g（1）=2，
∴2≥a-2，
∴a≤4，
故选B．

点评考查了恒成立问题的转换，利用适当变形，求出函数的最值．