万唯中考2023年山西省初中学业水平考试(一)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

万唯中考2023年山西省初中学业水平考试(一)数学试卷答案

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6.已知椭圆C的中心O为坐标原点,右焦点为F(1,0),A、B分别是椭圆C的左右顶点,P是椭圆C上的动点.
(Ⅰ)若△PAB面积的最大值为$\sqrt{2}$,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过右焦点F做长轴AB的垂线,交椭圆C于M、N两点,若|MN|=3,求椭圆C的离心率.

分析(1)将t=4代入函数解析式,对F(x)化简,得$f(x)={log_a}4(x+\frac{1}{x}+2)$,利用对勾函数在相应区间上的单调性求得其最值,需要对a进行讨论;
(2)将不等式转化,利用单调性,将不等式转化为x≤(2x+t-2)2,$\sqrt{x}-2x+2≤t$,转化为最值来处理即可求得结果.

解答解:(1)∵当t=4,$x∈[\frac{1}{4},2]$时,
F(x)=g(x)-f(x)=$2{log_a}(2x+2)-{log_a}x={log_a}\frac{{4{{(x+1)}^2}}}{x}$=${log_a}4(x+\frac{1}{x}+2)$,
又h(x)=$4(x+\frac{1}{x}+2)$在$[\frac{1}{4},1]$上为减函数,在[1,2]上为增函数,且$h({\frac{1}{4}})>h(2)$,
∴$h{(x)_{min}}=h(1)=16,h{(x)_{max}}=h({\frac{1}{4}})=25$
∴当a>1时,F(x)min=loga16,由loga16=-2,解得$a=\frac{1}{4}$(舍去);
当0<a<1时,F(x)min=loga25,由loga25=-2解得$a=\frac{1}{5}$,
所以$a=\frac{1}{5}$
(2)f(x)≥g(x),即logax≥2loga(2x+t-2),
∴logax≥loga(2x+t-2)2
∵$0<a<1,x∈[{\frac{1}{4},2}]$,
∴x≤(2x+t-2)2
∴$\sqrt{x}≤2x+t-2$,
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$,
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$,依题意有${(\sqrt{x}-2x+2)_{max}}≤t$
而函数$y=\sqrt{x}-2x+2=-2{(\sqrt{x}-\frac{1}{4})^2}+\frac{17}{8}$
因为$x∈[{\frac{1}{4},2}],\sqrt{x}∈[{\frac{1}{2},\sqrt{2}}]$,ymax=2,
所以t≥2.

点评本题考查的知识点是分类讨论的思想,恒成立问题的转化.熟练掌握对数函数,对勾函数的图象和性质,是解答的关键.

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