2023年陕西省初中学业水平考试·全真模拟(四)B卷数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年陕西省初中学业水平考试·全真模拟(四)B卷数学试卷答案

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20.a=sin(sin1),b=cos(cos1),c=tan(tan1),下列正确的是(  )

A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

分析(I)求出导数,求得切线的斜率和切点,运用已知切线方程,解方程即可得到a,b的值;
(Ⅱ)由题意可得f(x)=-$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$bx2+x的导数f′(x)=-x2-bx+1≥0在x>1成立,运用参数分离和函数的单调性,可得b的范围;
(Ⅲ)由题意可得x1,x2为f′(x)=0的两根,设f′(x)=a(x-x1)(x-x2),g(x)=a(x-x2)(x-x1+$\frac{2}{a}$),运用基本不等式求得g(x)的最小值h(a),再由导数判断h(a)的单调性,即可得到所求最大值.

解答解:(I)f(x)=$\frac{1}{3}$ax3-$\frac{1}{2}$bx2+x的导数为f′(x)=ax2-bx+1,
则f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为a-b+1=1,即a=b,
切点为(1,$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+1),即有$\frac{1}{3}$a-$\frac{1}{2}$b+1=$\frac{1}{6}$,
解方程可得a=b=5;
(Ⅱ)当a=-1时,函数f(x)在(1,+∞)上存在单调递增区间,
即为f(x)=-$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$bx2+x的导数f′(x)=-x2-bx+1≥0在x>1成立,
即有b≤$\frac{1}{x}$-x,由$\frac{1}{x}$-x在x>1递减,可得$\frac{1}{x}$-x<0,
则b≤0,即有b的取值范围是(-∞,0];
(Ⅲ)由题意可得x1,x2为f′(x)=0的两根,
设f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
g(x)=a(x-x1)(x-x2)+2(x-x2)=a(x-x2)(x-x1+$\frac{2}{a}$),
又x∈(x1,x2),a≥2,即有x-x1+$\frac{2}{a}$>0,
|g(x)|=|a(x-x2)(x-x1+$\frac{2}{a}$)|=a(x2-x)(x-x1+$\frac{2}{a}$)
≤a•($\frac{{x}_{2}-x+x-{x}_{1}+\frac{2}{a}}{2}$)2=a(1+$\frac{1}{a}$)2=a+$\frac{1}{a}$+2.
g(x)≥-(a+$\frac{1}{a}$+2),当且仅当x2-x=x-x1+$\frac{2}{a}$,
即x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-$\frac{1}{a}$取得等号.
则h(a)=-(a+$\frac{1}{a}$+2),(a≥2),
当a≥2时,h′(a)=-1+$\frac{1}{{a}^{2}}$<0,h(a)在a≥2递减,
当a=2时,取得最大值,且为-$\frac{9}{2}$.

点评本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查不等式成立的条件,以及单调性和基本不等式的运用:求最值,考查运算能力,属于难题.

2023年陕西省初中学业水平考试·全真模拟(四)B卷数学
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