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安师联盟2023年中考权威预测模拟考试（九）数学试卷答案

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13．设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：
（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；      
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
则下列判断正确的序号有①②③．
①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；
②函数g（x）=x在区间[0，1]上是“友谊函数”；
③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x₁＜x₂≤1，则f（x₁）≤f（x₂）．

分析函数f（x）=2$sin（2x+θ+\frac{π}{3}）$是偶函数，可得$θ+\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，即可得出．

解答解：∵函数f（x）=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2$sin（2x+θ+\frac{π}{3}）$是偶函数，
∴$θ+\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，
∴2θ=2kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）．
则tan2θ=tan（2kπ+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评本题考查了三角函数的奇偶性、诱导公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．