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衡中同卷2022-2023下学期高三年级三调(全国卷)数学试卷答案

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2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-2）x+3a，x≥0}\end{array}\right.$满足对任意的x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$]．

分析由已知求出两向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，进一步设出$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），结合$（\overrightarrowa-\overrightarrowc）•（\overrightarrowb-\overrightarrowc）≤0$，可得（x，y）表示以（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，以1为半径的圆及圆内部．画出图形，数形结合得答案．

解答解：设$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=θ$，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴由题意可设$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
则：$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$=（2-x，-y），$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$=（1-x，$\sqrt{3}$-y）．
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=${x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y$≤0．
即$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}≤1$．
∴（x，y）表示以（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，以1为半径的圆及圆内部．
|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示点（x，y）到原点的距离，如图所示：
连接圆心和原点O，与圆的交点到原点的距离最小．
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．