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2023年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷(一)数学试卷答案

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12．已知tanθ=-$\frac{3}{4}$，$θ∈（\frac{π}{2}，π）$，则sinθ=$\frac{3}{5}$．

分析（1）利用函数的单调性的定义求解证明即可．
（2）利用函数的单调性直接求解函数的值域即可．

解答解：（1）证明：在区间（0，+∞）任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-\frac{1}{x_1}）-（{x_2}-\frac{1}{x_2}）$=$（{x_1}-{x_2}）（1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$
由条件知x₁-x₂＜0且$1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数…（6分）；
（2）由（1）知f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数，所以${[f（x）]_{max}}=f（2）=\frac{3}{2}$，
[f（x）]_min=f（1）=0，所以f（x）在[1，2]上的值域为$[0，\frac{3}{2}]$…（6分）．

点评本题考查函数的单调性的证明与应用，考查计算能力．