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名校之约系列 2023高考考前冲刺押题卷(五)数学试卷答案

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15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：
x+$\frac{1}{x}$≥2，
x+$\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$≥3，
x+$\frac{27}{x^3}=\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{27}{x^3}$≥4，
…
类比得：x+$\frac{a}{x^n}≥n+1（n∈{N^*}）$，则a=nⁿ．

分析（I）由a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），即可证明；
（II）由（1）可得：a_n+3=4×2^n-1，可得a_n．由于点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．b_n=b_n+1-1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（III）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹，可得b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答（I）证明：∵a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），
∴数列{a_n+3}为等比数列，首项为4，公比为2；
（II）解：由（1）可得：a_n+3=4×2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．
∵点（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上．
∴b_n=b_n+1-1，化为b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
（III）解：c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹，
∴b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹．
∴数列{b_nc_n}的前n项和S_n=1×2²+2×2³+3•2⁴…+n•2ⁿ⁺¹．
∴2S_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评本题考查了递推公式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．