2023届普通高等学校招生考试预测押题卷(四)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023届普通高等学校招生考试预测押题卷(四)数学试卷答案

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19.方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=1}\end{array}\right.$的解集是(  )

A.(2,1)B.{2,1}C.{(2,1)}D.{-1,2}

分析(1)直线y=$\frac{1}{2}$x-b代入双曲线的方程,运用韦达定理,再由弦长公式,可得直线的斜率,即可得到所求直线方程;
(2)设以定点M(2,1)为中点的弦为CD,讨论斜率不存在和存在,设出直线方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,解得斜率,注意检验判别式是否大于0,即可得到所求直线方程;
(3)假设存在这样的直线EF,运用联立方程,由韦达定理和中点坐标公式,可得斜率,检验判别式是否大于0;再由图象,观察直线绕着定点(1,1)旋转,所得的弦的中点是不是(1,1),即可判断.

解答解:(1)直线y=$\frac{1}{2}$x-b代入双曲线的方程,可得
3x2+4bx-4b2-4=0,
即有△=16b2+12(4b2+4)>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
即有x1+x2=-$\frac{4b}{3}$,x1x2=-$\frac{4{b}^{2}+4}{3}$,
则|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•|x1-x2|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{(-\frac{4b}{3})^{2}+\frac{16({b}^{2}+1)}{3}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$,
解方程可得b=±1,
即有直线方程为y=$\frac{1}{2}$x-1或y=$\frac{1}{2}$x+1;
(2)设以定点M(2,1)为中点的弦为CD,
若直线的斜率不存在,设为x=2,代入双曲线的方程,显然无解;
可设直线CD的方程为y=k(x-2)+1,代入双曲线的方程可得,
(1-k2)x2-2k(1-2k)x-(1-2k)2-1=0,
△=4k2(1-2k)2+4(1-k2)[(1-2k)2-1]>0,
x1+x2=$\frac{2k(1-2k)}{1-{k}^{2}}$,
由M为CD的中点,可得$\frac{2k(1-2k)}{1-{k}^{2}}$=4,
解得k=2,代入判别式,可得△>0成立,
则所在直线方程为y=2x-3;
(3)假设存在以定点N(1,1)为中点弦EF,
若x=1,显然不成立;
可设直线CD的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线的方程可得,
(1-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-1=0,
△=4k2(1-k)2+4(1-k2)[(1-k)2-1]>0,
x1+x2=$\frac{2k(1-k)}{1-{k}^{2}}$,
由M为CD的中点,可得$\frac{2k(1-k)}{1-{k}^{2}}$=2,
解得k=1,代入判别式,可得△>0不成立,
通过图象观察,由于直线恒过定点(1,1),
将直线绕着定点(1,1)旋转,发现不存在以(1,1)为中点的弦.
故不存在这样的直线.

点评本题考查直线和双曲线的位置关系,考查直线方程和双曲线的方程联立,运用韦达定理和中点坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题.

2023届普通高等学校招生考试预测押题卷(四)数学
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