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2023年河北省新高考模拟卷（六）数学试卷答案

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10．设函数$f（x）={log_2}（\frac{1+ax}{1-x}）$，若$f（\frac{1}{3}）=1$
（1）求f（x）的解析式并判断其奇偶性；
（2）当x∈[-1，0）时，求f（3^x）的值域；
（3）已知函数$g（x）={log_{\sqrt{2}}}\frac{k}{1-x}$，若存在$x∈[\frac{1}{2}，\frac{2}{3}]$使不等式 f（x）＞g（x）成立，求k的范围．

分析（1）设等差数列列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）设各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式和求和公式．

解答解：（1）设等差数列列{a_n}的公差为d，由a₂=2，a₅=8
可得a₁+d=2，a₁+4d=8，
解得a₁=2，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-2；
（2）设各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），
由（1）知a₃=4，
则b₃=a₃=4，T₂=3，即q≠1，
即有b₁q²=4，b₁+b₁q=3，解得b₁=1，q=2或b₁=9，q=-$\frac{2}{3}$（舍去），
则b_n=b₁q^n-1=2^n-1，T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

点评本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想的运用，属于基础题．