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2023年湘潭市高二学业水平合格性模拟考试数学试卷答案

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15．若数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₁=3a₁，b₃=S₂+3
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{n+2}{{b}_{n}•{b}_{n+1}•{a}_{n}}$（n∈N^*），且{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n$＜\frac{1}{4}$．

分析先求出函数f（x）的对称轴x=1，从而可讨论区间[t，t+1]和对称轴的关系：分t+1≤1，t＜1＜t+1，和t≥1三种情况，然后根据二次函数在[t，t+1]上的单调性及取得顶点情况便可求出每种情况的f（x）的最小值，从而得出g（t）的表达式．

解答解：f（x）的对称轴为x=1；
①t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上单调递减；
∴f（t+1）=t²+2是f（x）的最小值；
②t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（1）=2是f（x）的最小值；
③t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增；
∴f（t）=t²-2t+3是f（x）的最小值；
∴综上得，$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2}&{t≤0}\\{2}&{0＜t＜1}\\{{t}^{2}-2t+3}&{t≥1}\end{array}\right.$．

点评考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据单调性的定义求函数在闭区间上的最小值，以及根据抛物线顶点求二次函数最小值的方法．