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2023届全国普通高等学校招生统一考试(新高考) JY高三模拟卷(六)数学试卷答案

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13．已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x+3，则f（x）的单调增区间是[-2，0]，[2，+∞）．

分析原式可化为n（n²-1）（n²-4）=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）=120•${C}_{n+2}^{5}$，命题得证．

解答证明：∵n⁵-5n³+4n=n（n⁴-5n²+4）
=n（n²-1）（n²-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）
=${A}_{n+2}^{5}$
=${A}_{5}^{5}$•${C}_{n+2}^{5}$
=120•${C}_{n+2}^{5}$，
因为n＞2且n∈Z，所以${C}_{n+2}^{5}$为整数，
故n⁵-5n³+4n能被120整除．

点评本题主要考查了运用排列数和组合公式证明整数问题，涉及多项式的因式分解和运用综合法证明问题，属于中档题．