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衡水名师卷 2023年辽宁名校联盟·信息卷(三)数学试卷答案

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14．在平面直角坐标系中，已知点M（0，-1），N（0，1），动点P满足PM=$\sqrt{2}$PN．
（1）求点P的轨迹C₁的方程，并说明是什么曲线
（2）二次函数f（x）=x²+2x-3的图象与两坐标轴交于三点，过这三点的圆记为C₂，求证C₁、C₂有两个公共点，并求出这两个公共点间距离．

分析先求出抛物线的方程，再设过点M（0，-2）的直线方程为y=kx-2，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合线段MN的中点的横坐标为2，可求直线l的斜率．

解答解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-2，
∴$\frac{p}{2}$=2，解得p=4，
∴抛物线C的方程为：y²=8x．
设过点M（0，-2）的直线方程为y=kx-2，
代入抛物线方程，可得k²x²+（-4k-8）x+4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$
∵线段MN的中点的横坐标为2，
∴$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$=4
解得k=2或-1，k=-1时，△=0，不符合题意，
∴k=2，
故选：C．

点评本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．