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［岳阳二模］2023届湖南省岳阳市高三年级第二次模拟考试数学试卷答案

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1．已知数列{a_n}中，a₁=6，且当n≥2时，$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n-1．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是等比数列；
（2）若对任意n∈N^*，不等式3n²-2n-5＜（2-λ）a_n恒成立，求实数λ的取值范围．

分析求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．

解答解：由y=ax²（a＞0），得y′=2ax，
由y=e^x，得y′=e^x，
曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x存在公共切线，
设公切线与曲线C₁切于点（x₁，ax₁²），与曲线C₂切于点（x₂，e^x₂），
则2ax₁=e^x₂=$\frac{{{e}^{x}}_{2}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
可得2x₂=x₁+2，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
记f（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}（x-2）}{4{x}^{2}}$，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴当x=2时，f（x）_min=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范围是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

点评本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有实数解的条件，是中档题．