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2023届衡中同卷 信息卷 新高考/新教材(一)数学试卷答案

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4．函数f（x）对于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1成立．
（1）求证为R上的增函数；
（2）若$f（{\sqrt{m}}）+f（{\sqrt{m}•x}）＞f（{{x^2}-1}）+1$对一切满足$\frac{1}{16}≤m≤\frac{1}{4}$的m恒成立，求实数x的取值范围．

分析（Ⅰ）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用基本不等式求得a+4b的最小值为9，可得f（m+1）≤9，由此求得m的范围．

解答解：（Ⅰ）不等式f（x）＞|x+1|?|2x-4|+1＞|x+1|，
?$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\2x-4+1＞x+1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜2\\4-2x+1＞x+1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\4-2x+1＞-（x+1）\end{array}\right.$．
求得x＞4，或$-1＜x＜\frac{4}{3}$，或x≤-1，
于是原不等式的解集为$（-∞，\frac{4}{3}）∪（4，+∞）$．
（Ⅱ）因为$ab=a+b?\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，所以$a+4b=（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）（a+4b）≥{（\sqrt{\frac{1}{a}}•\sqrt{a}+\sqrt{\frac{1}{b}}•\sqrt{4b}）^2}=9$，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ab=a+b\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$时a+4b取得最小值9．
因为f（m+1）≤a+4b对任意a，b∈（0，+∞）都成立，
所以f（m+1）≤9?|m-1|≤4?-4≤m-1≤4，
于是，所求实数m的取值范围是-3≤m≤5．

点评本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．