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2023届衡中同卷 信息卷 新高考/新教材(四)数学试卷答案
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3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$．则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
| A． | [2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z） | B． | [2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z） | ||
| C． | [2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z） | D． | [2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z） |
分析根据题意可得两个复根共轭，即关于x轴对称，又与原点组成正三角形，则每个根与x轴的夹角为30度或150度，得到|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，化简即可．
解答解：因为两个复根共轭，即关于x轴对称．
又与原点组成正三角形，则每个根与x轴的夹角为30度或150度，其正切为$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
而复根为x=$\frac{1}{2}$（-a±i$\sqrt{4b-{a}^{2}}$），
所以有|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即4b-a2=$\frac{1}{3}$a2，
即b=$\frac{1}{3}$a2，
因为a≠0，否则a=b=0，两个复根都为0，不符．
所以有b＞0．
点评本题考查了共轭复数和复根的求法，属于基础题．
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