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桂柳文化2023届高三桂柳鸿图信息冲刺金卷三四数学试卷答案

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8．已知复数z满足|z|=2，求复ω=$\frac{1+z}{z}$在复平面内的对应点的轨迹．

分析（1）根据平面向量的数量积求出$|{\veca+\vecb}|$的值即可判断正误；
（2）根据$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即可判断$\overrightarrowa⊥\overrightarrowb$；
（3）求出不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集即可；
（4）利用平面向量的数量积求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值即可．

解答解：对于（1），∵＜$\veca$，$\vecb$＞=60°，$\veca=（2，0）$，$|{\vecb}|=1$，
∴$|{\veca+\vecb}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+2×2×1×cos60°+1}$=$\sqrt{7}$，（1）正确；
对于（2），$\overrightarrowa=（{sinθ，\sqrt{1+cosθ}}），\overrightarrowb=（{1，\sqrt{1-cosθ}}）$，θ∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθ+$\sqrt{（1+cosθ）（1-cosθ）}$=sinθ+|sinθ|=sinθ-sinθ=0，
∴$\overrightarrowa⊥\overrightarrowb$，（2）正确；
对于（3），x∈R时，不等式|x+10|-|x-2|≥8等价于
$\left\{\begin{array}{l}{（x+10）-（x-2）≥8，x＞2}\\{（x+10）+（x-2）≥8，-10≤x≤2}\\{-（x+10）+（x-2）≥8，x＜-10}\end{array}\right.$，
解得x≥0，
∴该不等式的解集为[0，+∞），（3）正确；
对于（4），Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{AC}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AC}$=16，∴（4）错误．
综上，正确的命题是（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评本题考查了平面向量的数量积的应用问题，也考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是综合性题目．