河南省驻马店市2023届九年级下期第一次质检测试题数学试题答案 (更新中)

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试题答案

河南省驻马店市2023届九年级下期第一次质检测试题数学试卷答案

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8.已知集合A={x|y=$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$},集合B={y|y=$\sqrt{{x}^{2}-2x-3}$},则A∩B=(  )

A.B.RC.[3,+∞)D.[0,+∞)

分析(1)若a=0,根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)根据函数单调性的定义和性质,利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围;
(3)根据方程有三个不同的实数根,建立条件关系即可得到结论.

解答解:(1)函数y=f(x)为奇函数.
理由:当a=0时,f(x)=x|x|+2x,
f(-x)=-x|x|-2x=-f(x),
∴函数y=f(x)为奇函数;
(2)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+(2-2a)x,x≥2a}\\{-{x}^{2}+(2+2a)x,x<2a}\end{array}\right.$,
当x≥2a时,f(x)的对称轴为:x=a-1;
当x<2a时,y=f(x)的对称轴为:x=a+1;
∴当a-1≤2a≤a+1时,f(x)在R上是增函数,
即-1≤a≤1时,函数f(x)在R上是增函数;      
(3)方程f(x)-tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解.
①当-1≤a≤1时,函数f(x)在R上是增函数,
∴关于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根;                          
②当a>1时,即2a>a+1>a-1,
∴f(x)在(-∞,a+1)上单调增,
在(a+1,2a)上单调减,在(2a,+∞)上单调增,
∴当f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时,
关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根;
即4a<t•4a<(a+1)2
∵a>1,
∴1<t<$\frac{1}{4}$(a+$\frac{1}{a}$+2).
设h(a)=$\frac{1}{4}$(a+$\frac{1}{a}$+2),
∵存在a∈[-2,2],
使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根,
∴1<t<h(a)max
又可证h(a)=$\frac{1}{4}$(a+$\frac{1}{a}$+2)在(1,2]上单调增,
∴<h(a)max=$\frac{9}{8}$,
∴1<t<$\frac{9}{8}$,
③当a<-1时,即2a<a-1<a+1,
∴f(x)在(-∞,2a)上单调增,
在(2a,a-1)上单调减,在(a-1,+∞)上单调增,
∴当f(a-1)<tf(2a)<f(2a)时,
关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根;
即-(a-1)2<t•4a<4a,
∵a<-1,
∴1<t<-$\frac{1}{4}$(a+$\frac{1}{a}$-2),
设g(a)=-$\frac{1}{4}$(a+$\frac{1}{a}$-2),
∵存在a∈[-2,2],使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根,
∴1<t<g(a)max
又可证g(a)=-$\frac{1}{4}$(a+$\frac{1}{a}$-2)在[-2,-1)上单调减,
∴g(a)max=$\frac{9}{8}$,
∴1<t<$\frac{9}{8}$;                                   
综上:1<t<$\frac{9}{8}$.

点评本题主要考查函数奇偶性的判断,以及函数单调性的应用,综合考查分段函数的应用,综合性较强,运算量较大.

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话题:
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