【二轮模拟】中考导航总复习·模拟·冲刺卷(二)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

【二轮模拟】中考导航总复习·模拟·冲刺卷(二)数学试卷答案

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14.项数为奇数的等差数列{an}中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.

分析(1)求出f(x)的导数,由题意可得$\frac{2a}{x}$-ax+2≤0在(1,3)成立,即a(x-$\frac{2}{x}$)≥2,对a讨论,a=0,a<0,a>0,运用参数分离,求出单调性,解不等式即可得到所求a的范围;
(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),使f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线l满足l∥AB.运用两点的斜率公式和切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,化简整理,设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,则t>1,上式化为lnt=$\frac{2(t-1)}{t+1}$,构造函数g(t)=lnt-$\frac{2(t-1)}{t+1}$,求得导数判断单调性,即可判断不存在.

解答解:(1)函数f(x)=2alnx-$\frac{1}{2}$ax2+2x的导数为f′(x)=$\frac{2a}{x}$-ax+2,
f(x)在区间(1,3)上存在单调递减区间,
即为$\frac{2a}{x}$-ax+2≤0在(1,3)成立,即a(x-$\frac{2}{x}$)≥2,
若a=0,即有0≥2不成立;若a>0,即有$\frac{2}{a}$≤x-$\frac{2}{x}$,
由x-$\frac{2}{x}$在(1,3)递增,-1<x-$\frac{2}{x}$<$\frac{7}{3}$,可得$\frac{2}{a}$≤$\frac{7}{3}$,即a≥$\frac{6}{7}$;
若a<0,即有$\frac{2}{a}$≥x-$\frac{2}{x}$,
由x-$\frac{2}{x}$在(1,3)递增,-1<x-$\frac{2}{x}$<$\frac{7}{3}$,可得$\frac{2}{a}$≥-1,即a≥-2.
综上可得a的范围是[-2,0)∪[$\frac{6}{7}$,+∞);
(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),
使f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线l满足l∥AB.
M(x0,y0)是曲线y=f(x)上的不同点,
且0<x1<x2,x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,
则直线AB的斜率:kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2aln{x}_{2}-\frac{1}{2}a{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{2}-(2aln{x}_{1}-\frac{1}{2}a{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{2a(ln{x}_{2}-ln{x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a(x2+x1)+2,
曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率:k=f′(x0)=f′($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)=$\frac{4a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a(x1+x2)+2,
依题意:kAB=k,即$\frac{2a(ln{x}_{2}-ln{x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a(x2+x1)+2=$\frac{4a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a(x1+x2)+2,
化简得$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$,
即ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2(\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1)}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$,
设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,则t>1,上式化为lnt=$\frac{2(t-1)}{t+1}$,①
由g(t)=lnt-$\frac{2(t-1)}{t+1}$,g′(t)=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{(t+1)^{2}}$=$\frac{(t-1)^{2}}{t(t+1)^{2}}$>0,
t>1时,g(t)>g(1)=0,
则lnt>$\frac{2(t-1)}{t+1}$,即有方程①无解.
故f(x)的图象上不存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),
使f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线l满足l∥AB.

点评本题考查导数的运用:求单调区间,考查存在性问题的解法,注意运用两点的斜率公式和切线的斜率,构造函数,运用导数判断单调性,考查运算能力,属于中档题.

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话题:
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