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2023郑州二测高三3月联考数学试卷答案

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7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$有交点P，且有公共的焦点F₁，F₂，且∠F₁PF₂=2α．求证：tanα=$\frac{n}{b}$．

分析由已知求出圆C的圆心C（0，-1），半径r=2，直线l的普通方程为x+y-1=0，再过河卒子同圆心C（0，-1）到直线l的距离d，由直线l截圆C所得的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$能求出结果．

解答解：∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ-1}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴圆C的普通方程为x²+（y+1）²=4，
∴圆C的圆心C（0，-1），半径r=2，
∵直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，
∴直线l的普通方程为x+y-1=0，
∵圆心C（0，-1）到直线l的距离d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴直线l截圆C所得的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评本题考查直线截圆所得弦长的求法，是基础题，解题时要注意参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，注意圆的性质的合理运用．