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2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷XJC(二)2数学试卷答案

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5．已知关于x的方程$\frac{1}{2}$x²-2lnx=m在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有实数解，求m的范围．

分析换元可得t=x-1＞0，可得x=t+1，代入可得y=t+$\frac{1}{t}$+1，由基本不等式可得．

解答解：∵x＞1，∴t=x-1＞0，解得x=t+1，
∴y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}-（t+1）+1}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+t+1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+1≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+1=3，
当且仅当t=$\frac{1}{t}$即t=1即x=2时取等号．
故答案为：3．

点评本题考查基本不等式求最值，整体换元是解决问题的关键，属基础题．