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勤学早·2023年武汉市部分学校九年级四月调研考试（一）数学试卷答案

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12．已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），一定点为P（-8，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过P的直线与椭圆交于P₁、P₂两点，设直线P₁F、P₂F的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．
（3）求△P₁P₂F面积的最大值．

分析先求出HC=1，BC，再过C作CQ⊥AB于Q，求出BQ，AQ，利用周长为6，即可得出结论．

解答解：∵PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴HC=1，
设AH=x，则AC=x+1，AP=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$，
sinA=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}}$，
由正弦定理，可得BO=$\frac{2（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$．
过C作CQ⊥AB于Q，
∴BQ=$\frac{x+1}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$，AQ=$\frac{2x（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$，
∵周长为6，
∴$\frac{2（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$+$\frac{x+1}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$+$\frac{2x（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$+x+1=6
∴（x²+1）（60x-66）=0，
∴x=1.1，
∴AC=2.1，
故答案为：2.1．

点评本题考查正弦定理，考查三角形周长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．