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学普试卷·2023届高三第七次(模拟版)数学试卷答案

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3．已知函数f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x
（1）求函数的最小正周期．
（2）求出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
（3）关于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有两个解x₁，x₂时，求x₁+x₂．

分析（1）由表提供数据知函数不为单调函数，结合表中数据构造方程组，求出各参数的值，可得函数解析式；
（2）结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值及最小值点；

解答解：（1）由表提供数据知函数不为单调函数，
而模型函数Q=at+b，Q=ab^t，Q=alog_bt均为单调函数，所以不适合；
从而选择函数模型：Q=at²+bt+c …..（2分）
将表格数据代入Q=at²+bt+c得方程：
$\left\{\begin{array}{l}150=2500t+50b+c\\108=12100t+110b+c\\150=62500t+250b+c\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{200}\\b=-\frac{3}{2}\\c=\frac{425}{2}\end{array}\right.$…（6分）
所以描述农副产品种植成本Q与上市时间t的变化关系为：Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$…..（7分）
（2）∵Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$的图象是开口朝上，且以直线t=150为对称轴的抛物线，
∴当t=150时，Q取最小值100…．（9分）
答：该农副产品最低种植成本为100元/kg，相应的上市时间为150天…（10分）

点评本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，二次函数的应用，难度中档．