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2023湖南郴州第三次市质检数学试卷答案

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18．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$其中t为参数，0≤α＜π，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l上点的最大距离．

分析由题意可得f（x）+f′（x）＞1，令g（x）=e^x[f（x）-1]，可得g′（x）=[f（x）+f′（x）-1]＞0，故函数g（x）=e^x•[f（x）-1]为增函数．不等式即$\frac{g（x）}{{e}^{x}（7-x）}$＞1①．检验当x＞7、x=0时，①不成立，从而得到答案．

解答解：由函数f（x）的定义域为R，2^f（x）•2^f′（x）=2^{[f（x）+f′（x）]}＞2，∴f（x）+f′（x）＞1．
令g（x）=e^x[f（x）-1]，可得g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
故函数g（x）=e^x•[f（x）-1]为增函数．
g（0）=f（0）-1=7，
f（0）=27${\;}^{\frac{2}{3}}$-2${\;}^{lo{{g}_{2}}{3}}$×log₂$\frac{1}{8}$+2lg（$\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$）-11
=9-3×（-3）+lg（3+$\sqrt{5}$+3-$\sqrt{5}$+2$\sqrt{9-5}$）-11=9+9+lg10-11=8，
不等式$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}$＞1，即$\frac{{e}^{x}[f（x）-1]}{7}$＞1，即e^x•[f（x）-1]=g（x）＞7=g（0），
∴x＞0
故选：B．

点评本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数的运算性质，分式不等式的解法，属于中档题．