百师联盟2023届高三二轮复习联考(一)【全国卷】数学试题答案 (更新中)

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试题答案

百师联盟2023届高三二轮复习联考(一)【全国卷】数学试卷答案

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7.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a}&{x<0}\\{lnx}&{x>0}\end{array}\right.$,若函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合,则a的取值范围是(  )

A.(-1,+∞)B.(-ln2,+∞)C.(-2,-1)D.(1,2)

分析(1)将点A的坐标带入椭圆的标准方程便可得出b=1,而根据离心率便可得到$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,再由a2=b2+c2便可求出a2,这样即可得出椭圆的标准方程;
(2)可根据双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$,而将点(4,$\sqrt{3}$)带入双曲线方程便可求出m,从而得出该双曲线的标准方程.

解答解:(1)椭圆经过点A;
∴$\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{(-1)^{2}}{{b}^{2}}=1$;
∴b=1;
离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
∴a2=2c2
又a2=b2+c2=1+c2
∴c2=1,a2=2;
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(2)根据双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}x$,可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$;
又双曲线经过点$(4,\sqrt{3})$;
∴$\frac{16}{4}-3=m$;
∴m=1;
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$.

点评考查椭圆、双曲线的标准方程,椭圆的离心率,以及双曲线的渐近线方程和双曲线标准方程的关系,曲线上的点的坐标和曲线方程的关系.

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