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2023衡水金卷先享题信息卷新高考新教材(一)数学试卷答案

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11．设函数f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x²+x）+f（t-2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，设g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为-1，求m的值．

分析因为椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=a²（a＞0）和连接A（1，1）、B（3，4）两点的线段没有公共点，所以A、B都在椭圆内或A、B都在椭圆外，可得到关于a的不等式组，解不等式组就可求出a的取值范围．

解答解：∵椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=a²（a＞0）和连接A（1，1）、B（3，4）两点的线段没有公共点，
∴A、B都在椭圆内或A、B都在椭圆外，
当点A、B都在椭圆内，则$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{2}＜{a}^{2}}\\{9+\frac{16}{2}＜{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得a＞$\sqrt{17}$；
当点A、B都在椭圆外，则$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{2}＞{a}^{2}}\\{9+\frac{16}{2}＞{a}^{2}}\end{array}\right.$解得0＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\sqrt{17}$，+∞）．
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\sqrt{17}$，+∞）．

点评本题主要考查直线与椭圆位置关系的判断，以及由此求参数的取值范围，考查运算能力，属于中档题．