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陕西省西安市莲湖区2023年高三第一次模拟考试数学试卷答案

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4．设点P（x，y）满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤2x+2}\end{array}\right.$，点Q（a，b）满足ax+by≤1恒成立，其中O是原点，a≤0，b≥0，则Q点的轨迹所围成的图形的面积为（　　）

分析根据题意，画出图形，结合图形，知GP最小时，HP取得最小值，求出此时GP的值即可．

解答解：如图所示．以EF为直径在平面BCC₁B₁内做圆，该圆的半径为r=$\frac{1}{2}$|EF|=$2\sqrt{2}$，
再过H引BB₁的垂线，垂足为G，连接GP，
则HP²=HG²+GP²，其中HG为棱长8，
因此当GP∥B₁C₁时，OG=6，此时GP取得最小值为6-$2\sqrt{2}$，从而HP取得最小值；
∴HP²=$（6-2\sqrt{2}）^{2}$+8²=36-24$\sqrt{2}$+8+64=108-$24\sqrt{2}$；
即HP²的最小值为108-$24\sqrt{2}$；
故选：D．

点评本题考查了空间位置关系与距离的求法问题，解题的关键是得出GP最小值，是易错题目，属于中档题．