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［陕西金太阳］2023年陕西省九年级下学期3月联考（23-CZ97c·金卷二）数学试卷答案

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18．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B
④若函数$f（x）=aln（{x+2}）+\frac{x}{{{x^2}+1}}（{x＞-2，a∈R}）$有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题为（　　）

分析先求出没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．

解答解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的$\frac{1}{8}$，
∵正四面体的各棱长均为4，
∴正四面体体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设其棱长为a，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
设小球的半径为r，则4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球的表面积S=4$π•\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}π$．
故选：C

点评本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．