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超级全能生2023届高考全国卷地区高三年级3月联考(3319C)数学试卷答案

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12．已知A、B、C为函数y=log_ax（0＜a＜1）的图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4（t＞1）．
（1）设△ABC的面积为S，求S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）的值域．

分析假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值．

解答解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，
∵h=$\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，
∴S=（r+x）•$\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}$，
S′=$\frac{（r-2x）（r+x）}{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}$，
令S′=0，得x=$\frac{r}{2}$，（x=-r舍），
则h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r．
当x∈（0，$\frac{r}{2}$）时，S′＞0；当x∈（$\frac{r}{2}$，r）时，S′＜0．
∴当x=$\frac{r}{2}$时，S取极大值．
∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．
故选：D

点评解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．