百校联赢·2023安徽名校大联考一数学试题答案 (更新中)

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试题答案

百校联赢·2023安徽名校大联考一数学试卷答案

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2.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.

分析求出两个函数的导函数,设出两切点,由斜率相等列方程,再由方程有根转化为两函数图象有交点,求得a的范围.

解答解:由y=ax2(a>0),得y′=2ax,
由y=ex,得y′=ex
曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,
设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点(x2,ex2),
则2ax1=ex2=$\frac{{{e}^{x}}_{2}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$,
可得2x2=x1+2,
∴a=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$,
记f(x)=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}}{2x}$,
则f′(x)=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}+1}(x-2)}{4{x}^{2}}$,
当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增.
∴当x=2时,f(x)min=$\frac{{e}^{2}}{4}$.
∴a的范围是[$\frac{{e}^{2}}{4}$,+∞).
故答案为:[$\frac{{e}^{2}}{4}$,+∞).

点评本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了方程有实数解的条件,是中档题.

百校联赢·2023安徽名校大联考一数学
话题:
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