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山西省高二年级2022-2023学年第二学期第一次月考(23406B)数学试卷答案
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9.证明:${∫}_{x}^{1}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$=${∫}_{1}^{\frac{1}{x}}$$\frac{dx}{1+{x}^{2}}$(x>0).
分析(1)由f(x)=0进行求解即可;
(2)根据函数奇偶性的定义进行判断即可判断函数f(x)的奇偶性;
(3)根据函数单调性的定义结合指数函数单调性的性质即可得到结论.
解答解:(1)由f(x)=${a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}$=0得ax=$\frac{1}{{a}^{x}}$,即(ax)2=1,则ax=1,解得x=0,
即函数f(x)有零点,其中零点为0;
(2)函数的定义域为(-∞,+∞),
则f(x)=ax-$\frac{1}{{a}^{x}}$=ax-a-x,
则f(-x)=a-x-ax=-(ax-a-x)=-f(x),
则函数f(x)为奇函数;
(3)a>1时,函数f(x)为增函数,当0<a<1时,函数f(x)为减函数.
证明:设x1<x2,
f(x1)-f(x2)=${a}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$+-${a}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=(${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$)+$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$=(${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$)+$\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$
=(${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$)(1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$),
若a>1,∵x1<x2,
∴${a}^{{x}_{1}}$<${a}^{{x}_{2}}$,即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$<0,1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若0<a<1,∵x1<x2,
∴${a}^{{x}_{1}}$>${a}^{{x}_{2}}$,即${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$>0,1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
即a>1时,函数f(x)为增函数,当0<a<1时,函数f(x)为减函数.
点评本题主要考查函数零点的求解,函数奇偶性和单调性的判断和证明,利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键.
山西省高二年级2022-2023学年第二学期第一次月考(23406B)数学