百师联盟 2023届高三冲刺卷(五) 全国卷数学试题答案 (更新中)

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试题答案

百师联盟 2023届高三冲刺卷(五) 全国卷数学试卷答案

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5.在△ABC中,$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$,EF∥BC,EF交AC于F,设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$,则$\overrightarrow{BF}$可以用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$表示的形式是$\overrightarrow{BF}$=$-\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{5}$$\overrightarrow{b}$.

分析由$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x}$得x2-ax-2=0,由△=a2+8>0,知|x1-x2|=$\sqrt{{a}^{2}+8}$≤3,由此能求出实数m的取值范围.

解答解:由$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x}$得x2-ax-2=0.这时△=a2+8>0.
由于x1,x2是方程x2-ax-2=0的两实根,所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-2}\end{array}\right.$
从而|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$
因为-1≤a≤1,所以|x1-x2|=$\sqrt{{a}^{2}+8}$≤3
不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立.
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立.
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.
设g(t)=m2+tm-2=tm+m2-2,
则g(t)≥0对任意t∈[-1,1]恒成立,故$\left\{\begin{array}{l}{g(1)≥0}\\{g(-1)≥0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{m+{m}^{2}-2≥0}\\{-m+{m}^{2}-2≥0}\end{array}\right.$,
解得m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.

点评本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

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