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2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟卷(一)数学试卷答案

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10．直线y=kx-2交抛物线y²=x于A、B两点，（1）求k的取值范围；（2）若AB的中点横坐标为2，求|AB|的值．

分析（I）化简得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），结合正弦函数的性质求出f（x）得最大值和最小值；
（II）由f（x₀）=1可得sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然使用差角公式得到cos2x₀．

解答解：（I）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-4•$\frac{1-cos2x}{2}$+2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{3}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\frac{3}{2}$．
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
（II）∵f（x₀）=$\sqrt{3}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=1，∴sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵${x_0}∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，∴2x₀+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴cos2x₀=cos（2x₀+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，发现要求角与已知角的关系是关键．