宁波十校2023届高三3月联考数学试题答案 (更新中)

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试题答案

宁波十校2023届高三3月联考数学试卷答案

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4.定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:(1)f(2x)=2f(x);(2)当2≤x≤4时,f(x)=1-|x-3|.则集合A={x|f(x)=f(61)}中的最小元素是(  )

A.13B.11C.9D.6

分析(1)由求导公式和法则求出f′(x),求出导函数的零点,然后分a=1,a>1和a<1三种情况,分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号,由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间;
(2)由(1)和条件判断出f(x)在[0,a+1]上的单调性,确定f(x)在[0,a+1]上的最大值,由条件列出不等式,求出实数a的取值范围.

解答解:(1)由题意得,f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a,
①当a=1时,f′(x)=(x-1)2≥0,
所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
②当a<1时,
当x<a或x>1时,f′(x)>0,当a<x<1时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,a),(1,+∞)内单调递增,在(a,1)内单调递减;
③当a>1时,
当x<1或x>a时,f′(x)>0,当1<x<a时f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1),(a,+∞)内单调递增,在(1,a)内单调递减.
综上,当a<1时,f(x)在(-∞,a),(1,+∞)内单调递增,在(a,1)内单调递减;
当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
当a>1时,f(x)在(-∞,1),(a,+∞)内单调递增,在(1,a)内单调递减.
(2)由(1)知,当a>1时,
f(x)在(-∞,1),(a,+∞)内单调递增,在(1,a)内单调递减,
所以f(x)在[0,1),(a,a+1]内单调递增,在(1,a)内单调递减,
则f(x)在[0,a+1]上的最大值是f(0)或f(a+1),
因为f(x)在[0,a+1]上最大值是f(a+1),
所以$\left\{\begin{array}{l}{f(a+1)>f(0)}\\{a>1}\end{array}\right.$,则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{(a+1)}^{3}-\frac{1}{2}(a+1){(a+1)}^{2}+a(a+1)>0}\\{a>1}\end{array}\right.$,
化简得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4a+1<0}\\{a>1}\end{array}\right.$,解得$1<a<2+\sqrt{3}$,
所以a的取值范围是(1,2$\sqrt{3}$).

点评本题考查求导公式、法则,利用导数研究函数的单调性、最值,考查分类讨论思想,是中档题.

宁波十校2023届高三3月联考数学
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