2023年3月广西高三模拟考试(23-281C)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年3月广西高三模拟考试(23-281C)数学试卷答案

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8.下列四个命题:①α∈(0,$\frac{π}{2}$)时,sinα+cosα>1;②α∈($\frac{π}{2}$,π)时,若sinα+cosα<0,则|cosα|>|sinα|;③对任意的向量,必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|;④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$,则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$,正确的序号为①②③.

分析(1)根据抛物线方程求出其准线,确定焦点的坐标,然后求出椭圆中的c,再根据M点在椭圆上,求出椭圆方程;
(2)设出PQ直线方程,然后与椭圆方程联立,根据△=0,求出P、Q坐标,然后运用向量的数量积的坐标表示计算即可得到结论.

解答解:(1)抛物线y2=4x的准线为x=-1,
则F(-1,0),即c=1,即有a2-b2=1,
又M(1,$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$)在椭圆上,
则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1,解得a2=2,b2=1,
故椭E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(2)设P(-2,y0)、Q(x1,y1).
依题意可知切线PQ的斜率存在,设为k,PQ:y=kx+m,
并代入方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1中,
整理得:(2k2+1)x2+4mkx+2(m2-1)=0,
因△=16m2k2-8(2k2+1)(m2-1)=0,即m2=2k2+1.
从而x1=-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$,y1=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$,
所以Q(-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$,$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$),
又y0=-2k+m,则P(-2,-2k+m),$\overrightarrow{FP}$=(-1,m-2k),$\overrightarrow{FQ}$=(1-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$,$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$).
由于$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$=-1+$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$+(m-2k)•$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-1=0.
即有$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$为定值0.

点评本题考查了椭圆和抛物线的标准方程,同时与平面向量的知识结合考查学生的运算能力,本题对学生的计算能力要求较高.

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