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洛平许济2022-2023学年高三第三次质量检测(3月)数学试卷答案

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17．在平行四边形ABCD中，AB=4$\sqrt{7}$，BC=4，点P在CD上，AC交BP于点Q，若$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=-12．则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$=（　　）

分析由配方可得，函数y表示点P（x，0）到点A（0，2）和B（1，1）的距离之和．作出A关于x轴的对称点A′，连接A'B．运用两点之间线段最短，可得最小值为|A'B|的长．

解答解：函数y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$
=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-1）^{2}}$
表示点P（x，0）到点A（0，2）和B（1，1）的距离之和．
作出A关于x轴的对称点A′，连接A′B．
由|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|P′A|+|P′B|
=|P′A′|+|P′B|=|A′B|，
而A′（0，-2），|A'B|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
即有函数y的最小值为$\sqrt{10}$．

点评本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，借助对称知识，由两点之间线段最短，属于中档题．