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2023年普通高等学校招生全国统一考试金卷仿真密卷(十一)11 23新高考·JJ·FZMJ数学试卷答案

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9．已知数列{a_n}中a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，数列{b_n}中，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设T_n是数列{（$\frac{1}{3}$）ⁿ•b_n}的前n项和，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

分析（1）先求出曲线C的直角坐标方程，再求曲线C的参数方程．
（2）先求出直线l的普通方程为sinα•x-cosα•y-sinα=0，再求出圆心（2，1）到直线sinα•x-cosα•y-sinα=0的距离，由此利用勾股定理能求出直线l的倾斜角a的值．

解答解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ+4cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2y+4x，
即（x-2）²+（y-1）²=5，
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=1+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$．
（2）∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得直线l的普通方程为sinα•x-cosα•y-sinα=0，
∵曲线C：（x-2）²+（y-1）²=5是圆心为（2，1），半径r=$\sqrt{5}$的圆，
∴圆心（2，1）到直线sinα•x-cosα•y-sinα=0的距离：
d=$\frac{|2sinα-cosα-sinα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=|sinα-cosα|=|$\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）$|，
∵直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴${d}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}=（\sqrt{5}）^{2}$，
∴d=|$\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）$|=$\sqrt{2}$，
∴$sin（α-\frac{π}{4}）$=1，或$sin（α-\frac{π}{4}）$=-1，
∵直线l的倾斜角a∈[0，π），∴$α-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$或$sin（α-\frac{π}{4}）$=-1无解，
∴$α=\frac{3π}{4}$．
∴直线l的倾斜角a的值为$\frac{3π}{4}$．

点评本题考查圆的参数方程的求法，考查直线的倾斜角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．