2022-2023学年湖南省高二试卷3月联考(23-339B)数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2022-2023学年湖南省高二试卷3月联考(23-339B)数学试卷答案

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13.已知直线l的方程为ρsin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$,曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数).
(1)把直线l和曲线C的方程分别化为直角坐标方程和普通方程;
(2)求曲线C上的点到直线l距离的最大值.

分析(Ⅰ)由向量和三角函数公式可得f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,易得最值和x集合;
(Ⅱ)由题意和同角三角函数基本关系可得sinB,再由前面所求可得C=$\frac{π}{3}$,代入sinA=sin($\frac{2π}{3}$-B)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB,计算可得.

解答解:(Ⅰ)∵向量$\overrightarrow{m}$=(cos2x,$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$),$\overrightarrow{n}$=(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$),
∴函数f(x)=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos2x+($\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$)2
=cos2x+$\frac{3}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{3}{4}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(2x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$
故当cos(2x+$\frac{π}{6}$)=1时,函数f(x)取得最大值$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,
此时2x+$\frac{π}{6}$=2kπ,解得x=kπ-$\frac{π}{12}$,k∈Z,
故x取值的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{12}$,k∈Z};
(Ⅱ)∵A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,且cosB=$\frac{3}{5}$,
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$,又f(C)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(2C+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$,
∴cos(2C+$\frac{π}{6}$)=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$,解得C=$\frac{π}{3}$,
∴sinA=sin($\frac{2π}{3}$-B)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

点评本题考查解三角形,涉及三角函数的化简和同角三角函数基本关系以及向量的知识,属中档题.

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