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2025届湖南金太阳高二年级3月联考数学试卷答案

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20．两圆x²+y²=9和x²+y²-8x+6y+9=0的公切线条数是（　　）

分析分别求出曲线C₁和C₂的直角坐标方程，联立方程组求出A、B的坐标，先求出线段AB的垂直平分线的普通方程，由此能求出线段AB的垂直平分线极坐标方程．

解答解：∵曲线C₁：ρ=2sinθ，∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=2y，
∵C₂：ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=-1，AB的中点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴线段AB的垂直平分线的方程为：y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{1}{2}$），即x+y-1=0．
∴线段AB的垂直平分线极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，即$ρ=\frac{1}{sinθ+cosθ}$．
故选：A．

点评本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查直线极坐标方程的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理运用．