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2023江西九校联考高三3月考试数学试卷答案

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5．定义在R上的函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R．都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＜0；不等式f（sin²θ）+f（2mcosθ-2m-2）＜0在θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

分析求出椭圆的焦点坐标，设P的坐标，利用向量的数量积化简，通过椭圆的范围，求解即可．

解答解：椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$两个焦点分别是${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$，
设P（x，y），则$\overrightarrow{P{F_1}}=（-\sqrt{3}-x，-y）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（\sqrt{3}-x，-y）$，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=（-\sqrt{3}-x）（\sqrt{3}-x）+{y^2}={x^2}+{y^2}-3$，
因为${y^2}=1-\frac{x^2}{4}$，
代入可得$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{3}{4}{x^2}-2$，而-2≤x≤2，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范围是[-2，1]
故答案为：[-2，1]．

点评本题考查椭圆的几何性质，向量的数量积的应用，考查计算能力．