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12.【解析】(1)飞船在轨道I上运动时,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律有$$GMmr^2=mr(2T)^2$$(1分)则地球的质量$$M=4^2r^3GT^2$$(1分)飞船在轨道I上的线速度大小为为v$$v=2rT$$(1分)(2)设飞船在椭圆轨道上的远地点速度为$$v1,$$在近地点的速度为$$v2,$$由开普勒第二定律有$$rv12=krv22$$(1分)根据能量守恒定律有$$12mv1^2-GMmr=12mv2^2-GMmkr$$(1分)解得$$v1=2GMk(k+1)r=2rT2kk+1$$(1分)根据动能定理可知飞船在A点变轨时,发动机对飞船做的功为$$W=12mv1^2-12mv^2=2(k-1)^2mr^2(k+1)T^2$$(1分)

得滑块m最终的速度为v=-0.2m/s(1分)即滑块m最终的速度大小为0.2m/s,方向水平向左(1分)(3)由滑板和滑块m组成的系统能量守恒得mg2L=12Mu1^2+12mv2^2-12(m+M)v^2(2分)得BC的长度为L=0.675m(2分)