山东省2023届九年级第二学期片区九校联合检测数学试题答案 (更新中)

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试题答案

山东省2023届九年级第二学期片区九校联合检测数学试卷答案

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12.已知f(x)的定义域为R,且f(x+2)•[1-f(x)]=1+f(x),若f(1)=2-$\sqrt{3}$,求f(2003)的值.

分析(Ⅰ)由条件可知,${S_{n+1}}-{S_n}={S_n}+{2^{n+1}}$,即${S_{n+1}}-2{S_n}={2^{n+1}}$,整理得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{S_n}{2^n}=1$,即可证明.
(Ⅱ)由(1)可知,$\frac{S_n}{2^n}=1+n-1=n$,即${S_n}=n•{2^n}$,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.

解答(Ⅰ)证明:由条件可知,${S_{n+1}}-{S_n}={S_n}+{2^{n+1}}$,即${S_{n+1}}-2{S_n}={2^{n+1}}$,
整理得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{S_n}{2^n}=1$,
∴数列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$是以1为首项,1为公差的等差数列.
(Ⅱ)由(1)可知,$\frac{S_n}{2^n}=1+n-1=n$,即${S_n}=n•{2^n}$,
令Tn=S1+S2+…+Sn${T_n}=1•2+2•{2^2}+…+n•{2^n}$①
$2{T_n}=1•{2^2}+…+(n-1)•{2^n}+n•{2^{n+1}}$②
①-②,$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$,
整理得${T_n}=2+(n-1)•{2^{n+1}}$.

点评本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

山东省2023届九年级第二学期片区九校联合检测数学
话题:
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