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华普教育 2023全国名校高考模拟信息卷 老高考(四)4数学试卷答案

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2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-2）x+3a，x≥0}\end{array}\right.$满足对任意的x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$]．

分析（1）化简得f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），代入周期公式计算；
（2）g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2x，由x的范围得出2x的范围，结合正弦函数的单调性求出最值．

解答解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期是T=π；
（2）g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2x，
∵x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}}]$，∴2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x=$\frac{π}{2}$时，g（x）取最大值2；
当$2x=\frac{7π}{6}$时，g（x）取最小值-1．

点评本题考察了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．