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2023届昆明市三诊一模高三复习教学质量检测数学试卷答案

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4．圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{3}{4}π）$，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标
（2）l与C交于A，B两点，求|AB|

分析（1）运用作差比较法可得$\frac{a+b}{1+ab}$∈（-1，1），从而可证a*b=S；
（2）直接运用新定义，两边同时化简，即可证明等式．

解答证明：（1）因为a，b∈S，所以，a，b∈（-1，1），
即a²∈（0，1），b²∈（0，1），再作差比较如下，
记△=1-$\frac{（a+b）^2}{（1+ab）^2}$=$\frac{（1+ab）^2-（a+b）^2}{（1+ab）^2}$
=$\frac{（1-a^2）（1-b^2）}{（1+ab）^2}$＞0恒成立，
所以，$\frac{（a+b）^2}{（1+ab）^2}$＜1，即$\frac{a+b}{1+ab}$∈（-1，1），
所以，a*b∈S；
（2）左边=（a*b）*c=$\frac{a+b}{1+ab}$*c=$\frac{\frac{a+b}{1+ab}+c}{1+\frac{a+b}{1+ab}•c}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$，
右边=a*（b*c）=a*$\frac{b+c}{1+bc}$=$\frac{a+\frac{b+c}{1+bc}}{1+a•\frac{b+c}{1+bc}}$=$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}$，
所以，左边=右边．
即（a*b）*c=a*（b*c）．

点评本题主要考查了运用作差法证明不等式，以及运用新定义运算证明等式，属于中档题．