2023届名校之约·中考导向总复习模拟样卷(七)7数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023届名校之约·中考导向总复习模拟样卷(七)7数学试卷答案

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16.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为135°,则E的离心率为(  )

A.$\sqrt{5}$B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{2}$D.$\root{4}{2}$

分析(1)设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a,b>0),求得渐近线方程,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程;求得抛物线的准线方程和双曲线的左顶点,解方程可得p,进而得到抛物线的方程;
(2)设直线1的方程为x=my+4,代入抛物线的方程,运用韦达定理和向量垂直的条件:数量积为0,计算即可得证.

解答解:(1)设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a,b>0),
即有c=4,a2+b2=16,
由渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,可得b=$\sqrt{15}$a,
解方程可得,a=1,b=$\sqrt{15}$,
即有双曲线的方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1;
双曲线的左顶点为(-1,0),
y2=2px(p>0)的准线为x=-$\frac{p}{2}$,
由题意可得-1=-$\frac{p}{2}$,解得p=2,
即有抛物线的方程为y2=4x;
(2)证明:经过双曲线C1焦点F的直线1的方程为x=my+4,
代入抛物线的方程可得,y2-4my-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得y1+y2=4m,y1y2=-16,
x1x2=(my1+4)(my2+4)=m2y1y2+4m(y1+y2)+16
=-16m2+16m2+16=16,
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=16+16=0,
则0A⊥0B.

点评本题考查双曲线和抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,注意联立直线方程和抛物线的方程,运用韦达定理,考查运算能力,属于中档题.

2023届名校之约·中考导向总复习模拟样卷(七)7数学
话题:
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