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2023届名校之约·中考导向总复习模拟样卷(七)7数学试卷答案

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16．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为135°，则E的离心率为（　　）

分析（1）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求得渐近线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；求得抛物线的准线方程和双曲线的左顶点，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）设直线1的方程为x=my+4，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得证．

解答解：（1）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
即有c=4，a²+b²=16，
由渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，可得b=$\sqrt{15}$a，
解方程可得，a=1，b=$\sqrt{15}$，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
双曲线的左顶点为（-1，0），
y²=2px（p＞0）的准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得-1=-$\frac{p}{2}$，解得p=2，
即有抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：经过双曲线C₁焦点F的直线1的方程为x=my+4，
代入抛物线的方程可得，y²-4my-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
x₁x₂=（my₁+4）（my₂+4）=m²y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
=-16m²+16m²+16=16，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=16+16=0，
则0A⊥0B．

点评本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．