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学普试卷 2023届高三第二次 优化调研卷(二)2数学试卷答案

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2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率存在的动直线l与椭圆C交于不同的点A、B，且△OAB的面积为1，若P为线段AB的中点，问：在x轴上是否存在两个定点M、N，使得直线PM与直线PN的斜率之积为定值，若存在，求出M、N的坐标，若不存在，说明理由．

分析（1）由已知得2a_n+1-2n-2=a_n-n，由此能证明数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（2）求出${a}_{n}=n+（\frac{1}{2}）^{n}$，从而b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答证明：（1）∵数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+n+2，
∴2a_n+1-2n-2=a_n-n，
∴$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}$，
∵${a}_{1}-1=\frac{3}{2}-1$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
解：（2）∵数列{a_n-n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n-n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴${a}_{n}=n+（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ+1，
∴{b_n}的前n项和：
T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+n，①
2T_n=2²+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+2n，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹-n
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-n-2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+n+2．

点评本题考查等比数列的证明，考查等比数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．