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2023年普通高等学校招生全国统一考试23(新教材)·JJ·YTCT金卷·押题猜题(六)6数学试卷答案

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7．设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=x-a．
（1）若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+2x|x-a|+ax-a-3，若不等式4≤h（x）≤16在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

分析利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M₁，M₂，M₃，…M₁₃的坐标，从而可求|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$|的值．

解答解：∵y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）cos（x-$\frac{π}{2}$）=2cosxsinx=sin2x，
∴由题意得：sin2x=$\frac{1}{2}$，
∴2x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴x=kπ+$\frac{π}{12}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∵正弦曲线y=sin2x与直线y=$\frac{1}{2}$在y轴右侧的交点自左向右依次记为M₁，M₂，M₃，…，
∴得M₁（$\frac{π}{12}$，0），M₂（$\frac{5π}{12}$，0），M₃（π+$\frac{π}{12}$），M₄（π+$\frac{5π}{12}$），…M₁₃（6π+$\frac{π}{12}$，0），
∴$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$=（6π，0），
∴|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$|=6π．
故选A．

点评本题考查了函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M₁，M₁₃的坐标是关键，属于中档题．