2023年普通高校招生考试冲刺压轴卷XGK(四)4数学试题答案 (更新中)

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试题答案

2023年普通高校招生考试冲刺压轴卷XGK(四)4数学试卷答案

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10.下列不等式在给定区间上不恒成立的是(  )

A.(x+1)cosx<1,x∈(0,π)B.e${\;}^{{x}^{2}}$>1+x2,x∈(0,+∞)
C.sinx+tanx>2x,x∈(0,$\frac{π}{2}$)D.lnx+ex>x$-\frac{1}{x}$+2,x∈(0,+∞)

分析(1)运用椭圆的定义和范围,可得a+c=2+$\sqrt{2}$,bc=1,a2-b2=c2,解方程可得a,b,即可得到椭圆方程;
(2)由两直线垂直的条件可设直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,再由中点坐标公式,可得MN的中点,代入垂直平分线方程可得t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$,再由点到直线的距离公式,可得O到直线MN的距离,运用三角形的面积公式,化简整理,可得△OMN的最大值.

解答解:(1)△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2,
即为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=2$\sqrt{2}$+2,
由△MF1F2面积为$\frac{1}{2}$|yM|•2c=c|yM|≤bc,
即有bc=1,a2-b2=c2
解得a=$\sqrt{2}$,b=1,
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(2)线段MN的垂直平分线的方程是2λx-2y+1=0,
即有直线MN的方程为y=-$\frac{1}{λ}$x+t,
代入椭圆方程可得,(2+λ2)y2-2λ2ty+λ2t2-2=0,
△=4λ4t2-4(2+λ2)(λ2t2-2)>0,
y1+y2=$\frac{2{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$,y1y2=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$,
MN中点为($\frac{2tλ}{2+{λ}^{2}}$,$\frac{{λ}^{2}t}{2+{λ}^{2}}$),
代入MN的垂直平分线可得,t=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{λ}^{2}}$,
即有y1+y2=-1,y1y2=$\frac{{λ}^{2}{t}^{2}-2}{2+{λ}^{2}}$=$\frac{(2-{λ}^{2})^{2}}{4{λ}^{2}(2+{λ}^{2})}$,
即有|MN|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$|y1-y2|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{1-4•\frac{(2-{λ}^{2})^{2}}{4{λ}^{2}(2+{λ}^{2})}}$
=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$•$\sqrt{\frac{6{λ}^{2}-4}{{λ}^{2}(2+{λ}^{2})}}$,
又O到直线MN的距离为d=$\frac{|λt|}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2+{λ}^{2}}{2|λ|\sqrt{1+{λ}^{2}}}$,
则△0MN面积为S=$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{\frac{(6{λ}^{2}-4)(2+{λ}^{2})}{{λ}^{4}}}$
=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{6-\frac{8}{{λ}^{4}}+\frac{8}{{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{8-8(\frac{1}{{λ}^{2}}-\frac{1}{2})^{2}}$,
当λ=±$\sqrt{2}$,△OMN的面积取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$,满足判别式大于0.
故△OMN的面积取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的定义和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的运算求解能力,属于中档题.

2023年普通高校招生考试冲刺压轴卷XGK(四)4数学
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